\(\dfrac{ab+a^2}{b^2-5b+5a-a^2}\cdot\dfrac{a^2-10a+25-b^2}{a^2-b^2}\)

\(=\dfrac{a\left(a+b\right)}{\left(b^2-a^2\right)-\left(5b-5a\right)}\cdot\dfrac{\left(a-5\right)^2-b^2}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{a\left(a+b\right)}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-5\left(b-a\right)}\cdot\dfrac{\left(a-5-b\right)\left(a-5+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{a}{a-b}\cdot\dfrac{\left(a-b-5\right)\left(a+b-5\right)}{\left(b-a\right)\left(b+a-5\right)}\)

\(=\dfrac{a}{a-b}\cdot\dfrac{a-b-5}{b-a}=\dfrac{-a\left(a-b-5\right)}{\left(a-b\right)^2}\)

\(\dfrac{a}{ab+bc+ac+c^2}=\dfrac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\dfrac{b}{bc+ac+ab+a^2}=\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

\(\dfrac{c}{ac+ab+b^2+bc}=\dfrac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)

Lời giải:

Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.

Áp dụng vào bài:

$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$

$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$

Tương tự:

$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Ta chứng minh bổ đề sau:

\(\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)

\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3b^2a\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có

\(M\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\)Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

\(M=\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2+\left(a-b\right)^2}}\le\sum\frac{ab}{\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}}=\sum\frac{ab}{2a+3b}\)

\(\Rightarrow M\le\frac{1}{32}\sum ab\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)=\frac{1}{25}\sum\left(3a+2b\right)=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)

\(M\le\frac{1}{5}\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{5}.3=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Áp dụng bổ đề:

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Ta có:

\(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\)

\(\le\dfrac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{20c^3-bc\left(b+c\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{20a^3-ca\left(c+a\right)}{ac+5a^2}\)

\(=\dfrac{b\left(4b-a\right)\left(5b+a\right)}{ab+5b^2}+\dfrac{c\left(4c-b\right)\left(5c+b\right)}{bc+5c^2}+\dfrac{a\left(4a-c\right)\left(5a+c\right)}{ac+5a^2}\)

\(=4b-a+4c-b+4a-c=3\left(a+b+c\right)\)

Pls tìm trước khi hỏi $$\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5^2}+\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\dfrac ...

Cho a,b,c>0.Cm:(19b^3-a^3)/(ab+5b^2)+ - Trường Toán Pitago – Hướng dẫn ...

C/m bất đẳng thức khó cho hsg

C/m bất đẳng thức khó cho hsg | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập ...

Cho a,b,c >0 và a+b+c=1.CMR (19b^3-a^3)/(ba+5b^2)+(19c^3-b^3)/(cb ...

Câu hỏi của Anh đẹp traiii - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Học tại nhà - Toán - Chứng minh đẳng thức

Bất đẳng thức - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ ...

Bất đẳng thức

Đề thi HSG 12 THPT An Lão, Hải Phòng - Diễn Đàn MathScope

giúp tớ bài toán Cm 9 này với! hu hu!? | Yahoo Hỏi & Đáp

VMF,HMF,k2pi, mathscope,... đủ cả

\(404=3\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\ge\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\le1212\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le2\sqrt{303}\)

Ta có:

\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2b+c}+\dfrac{1}{2c+a}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{2\sqrt{303}}{3}\)